8、买卖股票的最佳时机 II

题目描述

给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 表示股票第 i 天的价格。

在每一天，你可能会决定购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以购买它，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1:

输入: prices = [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii

方法1、贪心算法

思路：

判断后一天价格是否高于前一天，高，就卖。（有钱就卖，即大于0就卖。）

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)。只需要存放常数个若干变量。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # 收集所有上升时间段买卖（当然这是上帝视角了）
        l = len(prices)
        r = 0
        for i in range(1, l):
            if prices[i] > prices[i-1]:
                r += prices[i]-prices[i-1]
        return r

方法2、动态规划

动态规划就是把大问题拆分成小问题，把几天的问题，拆分成一天一天的买和卖。

思路：

手里的股票分为，有股票和无股票。

时间分为数组长度l的天数。

新建一个二维数组，行=天数，列=有股票和无股票（两列）。

首先第一天，无股票收益 = 0；有股票收益 = -买入股票价格的支出。

之后的天数里：

​ 1、今天无股票的最大利润=max{昨天就无股票(利润保持不变)，昨天有股票+今天卖掉的收益}

​ 2、今天有股票的最大利润=max{昨天就有股票(利润保持不变)，昨天无股票-今天买进的支出}

最后返回最后一天无股票时候的价格。（有股票的收益一定小于无股票，如果最后一天还有股票，那么最后一天需要支出买入股票的价格，或者持有不动。）

时间复杂度：O(n)，n为数组长度。一共有2n个状态。每次状态转移的时间复杂度是O(1)，因此总的时间复杂度是O(2n)=O(n)

空间复杂度：O(n)。需要2n个空间存储所有状态，或者看代码二进行空间优化，只需要存昨天的两个值，复杂度降为O(1)。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # 动态规划
        if not prices:
            return 0
        l = len(prices)
        dp = [[0 for x in range(2)] for y in range(l)]
        dp[0][0] = 0  # 第一天无股票时的收益
        dp[0][1] = -prices[0]  # 第一天有股票时的收益
        for i in range(1, l):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])  # 今天无股票的收益
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])  # 今天有股票的收益
        return dp[l-1][0]  # 返回最后一天无股票的时候的收益

因为当前时刻的收益，只和昨天的有无股票有关，所以只需要存储昨天的值即可。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # 动态规划, 只存储上一时刻的有无股票值
        if not prices:
            return 0
        l = len(prices)
        dp0 = 0
        dp1 = -prices[0]
        for i in range(1, l):
            dp0 = max(dp0, dp1+prices[i])
            dp1 = max(dp1, dp0-prices[i])
        return dp0